Lý thuyết điều khiển hiện đại

      26

Bài giảng định hướng điều khiển tiến bộ - Chương 1 gồm bao gồm nội dung bao gồm sau: quality tối ưu, các phương thức điều khiển về tối ưu, điều khiển và tinh chỉnh tối ưu những hệ đường tính cùng với phiếm hàm dạng toàn phương, áp dụng matlab giải câu hỏi tối ưu.

Bạn đang xem: Lý thuyết điều khiển hiện đại

Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm những nội dung đưa ra tiết.


*

Chương 1 : Điều khiển tối ưu Chương 1 ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯUVài nét lịch sử phát triển lý thuyết điều khiển .- phương pháp biến phân cổ xưa Euler_Lagrange 1766 .- Tiêu chuẩn ổn định Lyapunov 1892 .- Trí tuệ nhân tạo 1950 .- hệ thống điều khiển máy cất cánh siêu vơi 1955 .- nguyên lý cực tiểu Pontryagin 1956 .- phương pháp quy hoạch hễ Belman 1957 .- Điều khiển buổi tối ưu tuyến đường tính dạng toàn phương LQR ( LQR : Linear Quadratic Regulator ) .- Điều khiển kép Feldbaum 1960 .- Thuật toán dt 1960 .- nhận dạng hệ thống 1965 .- súc tích mờ 1965 .- khí cụ điều khiển khối hệ thống thích nghi mô hình tham chiếu MRAS và bộ tự chỉnh định STR 1970 ( MRAS : Model-Reference Adaptive System , STR : Self-Tuning Regulator ) .- Hệ tự học Tsypkin 1971 .- sản phẩm công nghiệp 1982 .- Lý thuyết bền chắc 1985 .- công nghệ tính toán mềm và điều khiển tích phù hợp 1985 . Học kì một năm học 2005-2006PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà 21.1 CHẤT LƯỢNG TỐI ƯU1.1.1 Đặc điểm của việc tối ưu1. Khái niệmMột hệ điều khiển có thiết kế ở cơ chế làm việc cực tốt là hệ luôn ở trạngthái về tối ưu theo một tiêu chuẩn chất lượng nào kia ( đã có được giá trị rất trị ) .Trạng thái tối ưu bao gồm đạt được hay không tùy thuộc vào yêu ước chất lượngđặt ra , vào sự hiểu biết về đối tượng người tiêu dùng và các tác động lên đối tượng người dùng , vàođiều kiện thao tác làm việc của hệ tinh chỉnh …Một số cam kết hiệu áp dụng trong chương 1 . Hình 1.1: Sơ đồ khối hệ thống điều khiển .Hệ thống tinh chỉnh và điều khiển như hình trên bao hàm các bộ phận chủ yếu đuối : đối tượngđiều khiển ( ĐTĐK ) , cơ cấu điều khiển và tinh chỉnh ( CCĐK ) cùng vòng hồi tiếp ( K ) .Với các ký hiệu :x0 : biểu lộ đầu vàou : dấu hiệu điều khiểnx : bộc lộ đầu raε = x0 – x : biểu đạt sai lệchf : tín hiệu nhiễuChỉ tiêu chất lượng J của một hệ thống có thể được đánh giá theo sai lệchcủa đại lượng được tinh chỉnh và điều khiển x so với trị số mong ước x0 , lượng vượt điềukhiển ( trị số cực to xmax đối với trị số xác lập x ( ∞ ) tính theo xác suất ) ,thời gian quá nhiều … hay theo một chỉ tiêu tất cả hổn hợp trong đk làm việcnhất định như hạn chế về hiệu suất , vận tốc , gia tốc … cho nên việc lựa chọn mộtluật điều khiển và cơ cấu điều khiển và tinh chỉnh để đạt được cơ chế làm câu hỏi tối ưu còntùy trực thuộc vào lượng thông tin lúc đầu mà ta dành được .Ở đây bạn cũng có thể thấy được sự khác hoàn toàn của chất lượng tối ưu khilượng thông tin thuở đầu thay đổi ( Hình 1.2 ) . Http://www.khvt.comChương 1 : Điều khiển tối ưu Hình 1.2 : buổi tối ưu tổng thể và buổi tối ưu toàn bộ .Khi tín hiệu tinh chỉnh u giới hạn trong miền , ta giành được giá trị tốiưu cực đại J1∗ của chỉ tiêu quality J ứng cùng với tín hiệu tinh chỉnh và điều khiển u1∗ .Khi tín hiệu điều khiển và tinh chỉnh u không biến thành ràng buộc bởi điều kiện u1 ≤ u ≤ u2 , tacó được giá trị về tối ưu J 2∗ > J1∗ ứng với u2∗ . Bởi vậy giá trị buổi tối ưu thực sựbây giờ đồng hồ là J 2∗ .Tổng quát hơn , khi ta xét bài toán trong một miền như thế nào đó cùng tìmđược giá bán trị buổi tối ưu J i∗ thì chính là giá trị tối ưu tổng thể . Dẫu vậy khi bài bác toánkhông có đk ràng buộc đối với u thì giá bán trị buổi tối ưu làJ ∗ = extremum( J i∗ ) với J i∗ là những giá trị buổi tối ưu tổng thể , quý giá J ∗ bao gồm làgiá trị về tối ưu cục bộ .Điều kiện tồn tại rất trị :• Đạo hàm bậc một của J theo u phải bằng 0 : ∂J =0 ∂u• Xét quý giá đạo hàm bậc hai của J theo u tại điểm rất trị :∂2J > 0 : điểm rất trị là cực tiểu∂u 2∂2J PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà 42. Điều kiện thành lập bài toán buổi tối ưuĐể thành lập và hoạt động bài toán buổi tối ưu thì yêu cầu thứ nhất là khối hệ thống phải có đặc tínhphi tuyến có cực trị .Bước quan trọng đặc biệt trong việc thành lập và hoạt động một hệ tối ưu là xác định chỉ tiêu chấtlượng J . Trách nhiệm cơ bạn dạng ở trên đây là đảm bảo cực trị của chỉ tiêu chất lượngJ . Ví như khi xây cất hệ tối ưu tác động nhanh thì yêu cầu so với hệlà nhanh lẹ chuyển từ tinh thần này lịch sự trạng thái không giống với thời gianquá độ bé dại nhất , nghĩa là cực tiểu hóa thời hạn quá độ . Giỏi khi tính toánđộng cơ thương hiệu lửa thì chỉ tiêu chất lượng là quá được khoảng cách lớn nhấtvới lượng nguyên nhiên liệu đã cho .Chỉ tiêu chất lượng J dựa vào vào biểu thị ra x(t) , tín hiệu tinh chỉnh u(t)và thời hạn t . Bài xích toán điều khiển tối ưu là xác minh tín hiệu điều khiển u(t)làm mang đến chỉ tiêu chất lượng J đạt cực trị với những điều kiện hạn chế nhấtđịnh của u và x .Chỉ tiêu unique J thông thường sẽ có dạng sau : T J = ∫ L< x(t ), u (t ), t >dt 0Trong kia L là một phiếm hàm so với tín hiệu x , tín hiệu điều khiển và tinh chỉnh u vàthời gian t .Lấy ví dụ về bài bác toán điều khiển và tinh chỉnh động cơ năng lượng điện một chiều kích trường đoản cú độc lậpΦ kt = const cùng với tín hiệu điều khiển và tinh chỉnh u được coi là dòng điện phần ứng iu và tín hiệu rax là góc quay ϕ của trục bộ động cơ . Hình 1.3 : Động cơ điện một chiều kích từ độc lập .Ta gồm phương trình cân bằng moment của động cơ : http://www.khvt.comChương 1 : Điều khiển buổi tối ưu dω kM iu − M c = M q (1) dt dϕ ω= (2) dttrong đó kM = cm Φ = const ; Mq là moment tiệm tính ; ω là vận tốc góc ; ϕlà góc con quay . Giả sử bỏ lỡ phụ thiết lập trên trục động cơ ( M c = 0 ) thì : d 2ϕ kM iu = M q (3) dt 2Nếu xét theo thời hạn tương đối bằng cách đặt : τ = t kM / M qthì (3) có dạng : d 2ϕ = iu (4) dτ 2Từ kia ta gồm : d 2x =u (5) dτ 2Vậy phương trình tâm trạng của bộ động cơ điện là một trong những phương trình vi phâncấp hai .• vấn đề tối ưu ảnh hưởng nhanh ( thời gian tối thiểu ) :Tìm luật điều khiển u(t) với điều kiện hạn chế u ≤ 1 để hộp động cơ quay từ bỏ vịtrí ban sơ có góc cù và vận tốc đều bằng 0 mang đến vị trí cuối cùng có gócquay bởi ϕ0 và vận tốc bằng 0 với cùng 1 khoảng thời hạn ngắn độc nhất .Vì cần thời gian ngắn nhất nên chỉ có thể tiêu chất lượng J đã là : T J = ∫ L< x(t ), u (t ), t >dt = T 0Rõ ràng trường đoản cú phương trình bên trên ta phải bao gồm L< x(t ), u (t ), t > = 1 .Như vậy , đối với bài toán tối ưu ảnh hưởng nhanh thì chỉ tiêu chất lượng J códạng : T J = ∫ 1dt = T 0 Trang 5PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà 6• việc năng suất buổi tối ưu :Năng suất tại đây được xác định bởi góc quay lớn số 1 của hộp động cơ trong thờigian T nhất quyết . Lúc đó chỉ tiêu quality J tất cả dạng : T T J = ∫ L< x(t ), u (t ), t >dt = ϕT − ϕ0 = ∫ ϕ (t )dt 0 0Do kia L< x(t ), u (t ), t > = ϕ (t ) = x(t ) cùng ta sẽ sở hữu chỉ tiêu unique J đối vớibài toán năng suất buổi tối ưu như sau : T J = ∫ x ( t )dt 0• bài xích toán tích điện tối thiểu :Tổn hao tích điện trong hệ thống : T Q = ∫ U u iu dt 0Dựa vào phương trình cân đối điện áp : U u = iu Ru + keωvà phương trình cân bằng moment : dω kM iu − M c = M q dtTa tính được : T T ke M c Q = ∫ U u iu dt = (ϕT − ϕ0 ) + ∫ Ru iu2 dt 0 kM 0Để đã có được tiêu hao năng lượng tối thiểu , ta chỉ cần tìm rất tiểu của J : T T J = ∫ L< x(t ), u (t ), t >dt = ∫ iu2 dt 0 0Mà cái điện phần ứng iu nghỉ ngơi đây chính là tín hiệu điều khiển và tinh chỉnh u . Bởi vậy chỉtiêu unique J so với bài toán năng lượng tối thiểu tất cả dạng : T J = ∫ u 2 (t )dt 0 http://www.khvt.comChương 1 : Điều khiển về tối ưu3. Về tối ưu hoá tĩnh cùng độngChúng ta đề nghị phân biệt nhì dạng vấn đề tối ưu hoá tĩnh và tối ưu hóa động .Tối ưu hóa tĩnh là việc không phụ thuộc vào thời hạn . Còn đối với tốiưu hóa đụng thì thời hạn cũng là 1 trong biến mà bọn họ cần cần xem xétđến .1.1.2 Xây dụng việc tối ưu1. Tối ưu hóa không có điều khiếu nại ràng buộcMột hàm chỉ tiêu quality vô hướng L(u ) = 0 được đến trước là 1 trong những hàmcủa một vector điều khiển hay như là 1 vector quyết định u ∈ R m . Họ cầnchọn quý hiếm của u sao cho L(u) đạt giá trị nhỏ nhất .Để giải câu hỏi tối ưu , ta viết chuỗi Taylor không ngừng mở rộng cho độ vươn lên là thiên củaL(u) như sau : 1 dL = LTu du + du T Luu du + O(3) (1.1) 2Với O(3) rất có thể coi là số hạng lắp thêm 3 . Grad của L theo u là 1 trong những vector m cột : ⎡ ∂L / ∂u1 ⎤ ⎢ ⎥ Δ ∂ L ⎢ ∂L / ∂u 2 ⎥ Lu = (1.2) ∂u ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ∂L / ∂u m ⎦và đạo hàm cung cấp 2 của L theo u là một trong ma trận m x m ( còn được gọi là ma trậnHessian ) : Δ ∂ 2 L ⎛⎜ ∂ 2 L ⎞ ⎟ Luu = (1.3) ∂u 2 ⎜⎝ ∂u i ∂u j ⎟ ⎠Luu được điện thoại tư vấn là ma trận uốn .Một điểm rất trị hoặc điểm dừng mở ra khi sự trở thành thiên dL với thànhphần đầu tiên tiến về 0 với đa số biến thiên du trong quy trình điều khiển . Vìvậy , để sở hữu điểm rất trị thì : Lu = 0 (1.4)Giả sử sẽ ở trên điểm rất trị , tất cả Lu = 0 như (1.4) . Để điểm rất trị trởthành điểm rất tiểu , bọn họ cần có : Trang 7PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà 8 1 T dL = du Luu du + O(3) (1.5) 2là khẳng định dương với mọi sự đổi mới thiên du . Điều này được bảo đảm an toàn nếu matrận uốn nắn Luu là khẳng định dương : Luu > 0 (1.6)Nếu Luu là xác minh âm thì điểm cực trị chính là điểm cực lớn ; còn nếu như Luulà không xác minh thì điểm cực trị đó là điểm yên con ngữa . Nếu như Luu là bánxác định thì bọn họ sẽ xét đến thành phần bậc cao hơn nữa trong (1.1) nhằm xácđịnh được một số loại của điểm cực trị .Nhắc lại : Luu là khẳng định dương ( hoặc âm ) giả dụ như các giá trị riêng biệt của nólà dương ( hoặc âm ) , không khẳng định nếu các giá trị riêng của nó vừa códương vừa tất cả âm cơ mà khác 0 , và sẽ là bán khẳng định nếu tồn tại giá chỉ trịriêng bằng 0 . Chính vì vậy nếu Luu = 0 , thì thành phần sản phẩm công nghệ hai sẽ không hoàntoàn chỉ ra được một số loại của điểm cực trị .2. Tối ưu hóa với các điều khiếu nại ràng buộcCho hàm chỉ tiêu unique vô phía L(x, u ) , cùng với vector điều khiểnu ∈ R m và vector tâm lý x ∈ R n . Bài toán đưa ra là lựa chọn u thế nào cho hàmchỉ tiêu chất lượng L(x,u) đạt giá trị nhỏ nhất và thỏa mãn đồng thời cácphương trình điều kiện ràng buộc . F ( x, u ) = 0 (1.7)Vector tinh thần x được xác định từ một quý hiếm u mang lại trước bởi mối quanhệ (1.7) , vì vậy f là 1 hệ có n phương trình vô phía , f ∈ R n .Để tìm đk cần và đủ của quý giá cực tè , đồng thời thỏa mãn f ( x, u ) = 0 , ta bắt buộc làm đúng chuẩn như vào phần trước . Đầu tiên ta khaitriển dL dưới dạng chuỗi Taylor , kế tiếp xác định số hạng thứ nhất và thứhai .Thừa số Lagrange và hàm Hamilton .Tại điểm cực trị , dL với mức giá trị thứ nhất bằng 0 với tất cả sự phát triển thành thiên củadu lúc df bằng 0 . Như vậy họ cần có: dL = LTu du + LTx dx = 0 (1.8)và: df = f u du + f x dx = 0 (1.9) http://www.khvt.comChương 1 : Điều khiển về tối ưuTừ (1.7) ta khẳng định được x từ quý giá u đang có, độ đổi mới thiên dx được xác địnhbởi (1.9) từ giá chỉ trị thay đổi thiên du đã gồm . Vì vậy , ma trận Jacobi fx khôngkỳ dị và : dx = − f x−1 f u du (1.10)Thay dx vào (1.8) ta được : dL = ( LTu − LTx f x−1 f u )du (1.11)Đạo hàm riêng rẽ của L theo u chứa hằng số f được cho vị phương trình : ∂L ∂u ( = LTu − LTx f x−1 f u )T = Lu − f uT f x−T Lx (1.12) df = 0 ( )với f x−T = f x−1 T . Chú ý rằng : ∂L = Lu (1.13) ∂u dx =0Để thành phần trước tiên của dL bằng không với cái giá trị du tùy ý khi df = 0 ,ta cần có : Lu − f uT f x−T L x = 0 (1.14)Đây là điều kiện cần để sở hữu giá trị cực tiểu . Trước khi đi tìm kiếm điều kiện đầy đủ ,chúng ta hãy chú ý thêm một vài cách thức để đã đạt được (1.14) .Viết (1.8) cùng (1.9) bên dưới dạng: ⎡dL ⎤ ⎡ LTx LTu ⎤ ⎡ dx ⎤ ⎢ df ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = 0 (1.15) ⎣ ⎦ ⎣ fx f u ⎦ ⎣du ⎦Hệ phương trình tuyến đường tính này xác định một trạm dừng , với phải gồm một < >kết trái dx T du T . Điều này chỉ xảy ra nếu ma trận hệ số (n + 1) × (n + m ) Tcó hạng bé dại hơn n+1 . Có nghĩa là các hàng của ma trận tuyến đường tính với nhauđể tồn tại một vector λ bao gồm n số hạng như sau: < ⎡ LTx 1 λ .⎢ T > LTu ⎤ ⎥=0 (1.16) ⎣ fx fu ⎦Hay: LTx + λT f x = 0 (1.17) LTu + λT f u = 0 (1.18) Trang 9PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà 10Giải (1.17) ta được λ : λT = − LTx f x−1 (1.19)và vắt vào (1.18) để có được (1.14) .Vector λ ∈ R n được hotline là quá số Lagrange , với nó sẽ là nguyên tắc hữu íchcho bọn họ sau này . Để hiểu thêm ý nghĩa của thừa số Lagrange ta xét du= 0 , từ bỏ (1.8) và (1.9) ta khử dx để được : dL = LTx f x−1 df (1.20)Vì vậy: ∂L ∂f ( = LTx f x−1 ) T = −λ (1.21) du = 0Do đó -λ là đạo hàm riêng rẽ của L cùng với biến điều khiển u là hằng số . Điều nàynói lên công dụng của hàm chỉ tiêu chất lượng với biến tinh chỉnh và điều khiển không đổikhi điều kiện thay đổi .Như là một trong cách thứ ba để tìm được (1.14) , ta trở nên tân tiến thêm để sử dụngcho các phân tích trong những phần sau .

Xem thêm: Game Siêu Nhân - Game Nguoi May Sieu Nhan

Kết hợp điều kiện và hàm chỉ tiêuchất lượng nhằm tìm ra hàm Hamilton . H ( x, u, λ ) = L( x, u ) + λT f ( x, u ) (1.22)Với λ ∈ R n là vượt số Lagrange chưa xác minh . Hy vọng chọn x , u , λ để cóđược điểm dừng , ta tiến hành công việc sau .Độ thay đổi thiên của H theo những độ phát triển thành thiên của x , u , λ được viết như sau : dH = H xT dx + H uT du + H λT dλ (1.23)Lưu ý rằng : ∂H Hλ = = f ( x, u ) (1.24) ∂λGiả sử bọn họ chọn các giá trị của u thỏa mãn : Hλ = 0 (1.25)Sau kia ta xác minh x với giá trị của u đang có bằng phương trình điều kiện ràngbuộc f ( x, u ) = 0 . Trong trường phù hợp này hàm Hamilton tương tự vớihàm chỉ tiêu chất lượng: http://www.khvt.comChương 1 : Điều khiển buổi tối ưu - H f =0 =L (1.26)Nhắc lại : nếu f = 0 , ta sẽ tìm được dx theo du tự (1.10) . Ta không nên xétmối quan hệ tình dục giữa du với dx để thuận lợi trong việc chọn λ sao cho : Hx = 0 (1.27)Sau đó , từ (1.23) , độ biến đổi thiên dH không chứa thành phần dx. Điều nàymang lại tác dụng λ : ∂H = L x + f xT λ = 0 (1.28) ∂xhay λT = − LTx f x−1 .Nếu giữ nguyên (1.25) và (1.27) thì: dL = dH = H uT du (1.29)Vì H = L, để sở hữu được trạm dừng ta đề xuất áp để điều kiện: Hu = 0 (1.30)Tóm lại , đk cần để có được điểm cực tiểu của L(x,u) thỏa mãn nhu cầu điềukiện ràng buộc f(x,u) = 0 gồm bao gồm : ∂H = f =0 (1.31a) ∂λ ∂H = L x + f xT λ = 0 (1.31b) ∂x ∂H = Lu + f uT λ = 0 (1.31c) ∂uVới H (x, u , λ ) xác định bởi (1.22) . Cách hay được sử dụng là trường đoản cú 3 phương trìnhđã cho khẳng định x , λ , cùng u theo sản phẩm tự khớp ứng . So sánh 2 phương trình(1.31b) và (1.31c) ta thấy chúng khớp ứng với 2 phương trình (1.17) và(1.18) .Trong nhiều ứng ụng , họ không quan tâm đến giá trị của λ , tuy nhiênta vẫn phải đi tìm giá trị của nó do đó là 1 trong biến trung gian chất nhận được chúngta xác định các đại lượng buộc phải tìm là u , x cùng giá trị bé dại nhất của L .Ưu điểm của vượt số Lagrange rất có thể tóm tắt như sau : trên thực tiễn , hai đạilượng dx và du chưa phải là nhì đại lượng biến thiên chủ quyền với nhau ,theo (1.10) . Bằng phương pháp đưa ra một thừa số cô động λ , họ chọn λ saocho dx cùng du rất có thể được xem là hai đại lượng trở thành thiên chủ quyền với nhau . Trang 11PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà 12Lấy đạo hàm riêng biệt của H thứu tự theo những biến như trong (1.31) , như thế tasẽ giành được điểm dừng .Khi chỉ dẫn thừa số Lagrange , chúng ta cũng có thể thay thế câu hỏi tìm giá trịnhỏ tuyệt nhất của L(x,u) với điều kiện ràng buộc f(x,u) = 0 , thành vấn đề tìmgiá trị nhỏ nhất của hàm Hamilton H(x,u,λ) không có điều khiếu nại ràng buộc .Điều kiện đang (1.31) xác minh một trạm dừng . Ta vẫn tiếp tục chứng minh đâylà điểm rất tiểu như đã thực hiện trong phần trước .Viết chuỗi Taylor mở rộng cho độ biến đổi thiên của L và f như sau : < dL = LTx > ⎡ dx ⎤ 1 LTu ⎢ ⎥ + dx T < > ⎡L du T ⎢ xx L xu ⎤ ⎡ dx ⎤ Luu ⎥⎦ ⎢⎣du ⎥⎦ + O(3) (1.32) ⎣du ⎦ 2 ⎣ Lux df = < f x ⎡ dx ⎤ 1 f u >⎢ ⎥ + dx T < > ⎡f du T ⎢ xx f xu ⎤ ⎡ dx ⎤ f uu ⎥⎦ ⎢⎣du ⎥⎦ + O(3) (1.33) ⎣du ⎦ 2 ⎣ f uxVới: Δ ∂2 f f xu = ∂u∂xĐể đưa ra hàm Hamilton , ta sử dụng các phương trình sau : <1 λT >⎢ ⎡dL ⎤ ⎥ = Hx T < > ⎡ dx ⎤ 1 H uT ⎢ ⎥ + dx T < > ⎡H du T ⎢ xx H xu ⎤ ⎡ dx ⎤ H uu ⎥⎦ ⎢⎣du ⎥⎦ + O(3) df ⎣ ⎦ ⎣du ⎦ 2 ⎣ H ux (1.34)Bây giờ đồng hồ , để sở hữu được điểm dừng ta cần phải có f = 0 , và đồng thời thành phầnthứ độc nhất của dL bởi 0 với mọi sự biến đổi thiên của dx cùng du . Bởi vì f = 0nên df = 0 , và điều này đòi hỏi H x = 0 cùng H u = 0 như vào (1.31) .Để tìm điều kiện đủ cho điểm cực tiểu , chúng ta xét cho thành phần thiết bị hai .Đầu tiên , ta đề xuất xem mối quan hệ giữa dx với du vào (1.34) . Trả sử rằngchúng ta sẽ ở điểm rất trị bắt buộc H x = 0 , H u = 0 với df = 0 . Sau đó, từ(1.33) ta gồm : dx = − f x−1 f u du + O(2) (1.35) http://www.khvt.comChương 1 : Điều khiển tối ưu -Thay vào (1.34) ta được : H xu ⎤ ⎡− f x−1 f u ⎤ 1 < dL = du T − f uT f x−T ⎡H > I ⎢ xx ⎢ H uu ⎥⎦ ⎣ I ⎦ ⎥ du + O(3) (1.36) 2 ⎣ H uxĐể bảo đảm đây là điểm cực tè , dL vào (1.36) buộc phải dương với tất cả sựbiến thiên của du . Điều này được đảm bảo nếu như ma trận uốn nắn với f luônbằng 0 là xác định dương . H xu ⎤ ⎡− f x−1 f u ⎤ < >⎡H Δ −T L = Luu f = −f f T I ⎢ xx ⎢ ⎥ H uu ⎥⎦ ⎣ I ⎦ uu u x ⎣ H ux f (1.37) = H uu − f uT f x−T H xu − H ux f x−1 f u + f uT f x−T H xx f x−1 f uLưu ý rằng nếu điều kiện ràng buộc f ( x, u ) = 0 với đa số x với u thì (1.37)được rút lại thành Luu sống phương trình (1.6) .Nếu (1.37) là xác minh âm ( hoặc không xác minh ) thì điểm dừng đang là điểmcực đại ( hoặc điểm yên ngựa ) .1.1.3 Ví dụTối ưu hóa không có điều khiếu nại ràng buộcVí dụ 1.1 : không gian toàn phương .Cho u ∈ R 2 với : 1 T ⎡ q.11 q12 ⎤ L(u ) = u u + u (1) 2 ⎢⎣q12 q 22 ⎥⎦ Δ 1 = u T Qu + S T u (2) 2Điểm rất trị được xác minh bởi : Lu = Qu + S = 0 (3) u ∗ = −Q −1 S (4)với u* dùng để chỉ biến tinh chỉnh tối ưu.Loại của điểm cực trị được xác định bằng cách xét ma trận hessian Luu = Q (5) Trang 13PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà 14Điểm u* là rất tiểu trường hợp Luu > 0 ( quận 11 > 0 và q.11 q 22 − q122 > 0 ) . Là vấn đề cựcđại nếu như Luu 0 ) . Nếu Q 0 . Tự (6) ta thấy rằng giá bán trị bé dại nhất của L là L* =-1/2 .Các đường đồng nút của L(u) trong (7) được vẽ trong Hình 1.4 , cùng với u = T . Những mũi thương hiệu là gradient . ⎡ u + u2 ⎤ Lu = Qu + S = ⎢ 1 ⎥ (9) ⎣u1 + 2u 2 + 1⎦Lưu ý rằng gradient luôn luôn luôn vuông góc với các đường đồng mức và cóhướng là phía tăng L(u) .Chúng ta cần sử dụng dấu “*” để chỉ giá chỉ trị tối ưu của u và L yêu cầu tìm . Tuy nhiên tathường làm lơ dấu “*” . Http://www.khvt.comChương 1 : Điều khiển tối ưu - Hình 1.4 : những đường đồng mức cùng vector gradient .Ví dụ 1.2 : tối ưu hóa bằng đo lường vô hướng .Phần trên bọn họ đã đề cập phương pháp giải bài toán tối ưu bằng cách sửdụng những vector và gradient . Tiếp sau đây ta vẫn tiếp cận việc với một cáchnhìn khác , coi chúng như thể những đại lượng vô phía .Để chứng minh , ta xét : 1 2 L(u1 , u 2 ) = u1 + u1u 2 + u 22 + u 2 (1) 2Với u1 , u 2 là những đại lượng vô hướng . Điểm rất trị mở ra khi đạo hàmriêng của L theo tất cả các đối số phải bởi 0 : ∂L = u1 + u 2 = 0 (2a) ∂u1 ∂L = u1 + 2u 2 + 1 = 0 (2b) ∂u 2 Trang 15PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà 16Giải hệ phương trình bên trên ta được : u1 = 1, u 2 = −1 (3)Vậy , điểm rất trị là (1 ,-1) .Biểu thức (1) là 1 trong những dạng không ngừng mở rộng của biểu thức (7) trong lấy một ví dụ 1.1 , nhưvậy bọn họ vừa kiếm được một kết quả tương tự bởi một cách khác .Tối ưu hóa có đk ràng buộcVí dụ 1.3 : không gian toàn phương với đk ràng buộc con đường tính .Giả sử hàm chỉ tiêu unique được cho bởi vì ví dụ 1.1 với những đại lượng vôhướng u1 , u 2 được thay thế sửa chữa bằng x, u : ⎡⎢ ⎤⎥ ⎡⎢ ⎤⎥ + <0 1>⎡⎢ ⎤⎥ 1 1 1 x x L ( x, u ) = (1) 2 ⎣1 2⎦ ⎣u ⎦ ⎣u ⎦Với điều kiện ràng buộc : f ( x, u ) = x − 3 = 0 (2)Hàm Hamilton đã là : 1 2 H = L + λT f = x + xu + u 2 + u + λ ( x − 3) (3) 2với λ là 1 đại lượng vô phía . Điều kiện để có điểm giới hạn theo (1.31) là : Hλ = x − 3 = 0 (4) Hx = x +u + λ = 0 (5) H u = x + 2u + 1 = 0 (6)Giải (4) , (5) , (6) ta được : x = 3 , u = -2 , λ = -1 . Điểm dừng là : (x, u )∗ = (3,−2) (7)Để khẳng định (7) là điểm cực tè , tìm ma trận uốn nắn theo (1.37) : Luuf = 2 (8)Luuf >= 0 , vì vậy (x, u ) = (3,−2) là vấn đề cực đái . ∗Các con đường đồng mức của L(x,u) và điều kiện ràng buộc (2) được vẽ trongHình 1.5 .Grad của f(x,u) trong hệ tọa độ (x,u) được viết như sau: http://www.khvt.comChương 1 : Điều khiển tối ưu - ⎡ f x ⎤ ⎡1 ⎤ ⎢ f ⎥ = ⎢0 ⎥ (9) ⎣ u⎦ ⎣ ⎦được vẽ trong Hình 1.4 . Và grad của L(x,u) : ⎡ Lx ⎤ ⎡ x + u ⎤ ⎢ L ⎥ = ⎢ x + 2u + 1⎥ (10) ⎣ u⎦ ⎣ ⎦Tại điểm rất tiểu (3,-2) , grad L(x,u) sẽ sở hữu được giá trị : ⎡ L x ⎤ ⎡1⎤ ⎢ L ⎥ = ⎢0 ⎥ (11) ⎣ u⎦ ⎣ ⎦Cần xem xét rằng gradf với gradL tương đương với nhau tại trạm dừng . Cónghĩa là điểm cực tiểu lộ diện khi điều kiện ràng buộc (2) là đường tiếptuyến của những đường đồng mức của L. Dịch rời hướng dọc từ đườngthẳng f = 0 vẫn làm tăng giá trị của L .Ta tìm kiếm được giá trị của L tại điểm cực tiểu bằng cách thay x = 3, u = -2 vào(1) , ta được L*=0,5 .Vì λ = -1 , giữ nguyên giá trị u = -2 , biến đổi điều khiếu nại ràng buộc df ( dịchchuyển mặt đường thẳng trong Hình 1.5 về phía đề nghị ) sẽ làm cho tăng L(x,u) cùng với dL= -λdf = df .Ví dụ 1.4 : Hàm chỉ tiêu unique dạng toàn phương với đk ràngbuộc con đường tính - Trường hòa hợp vô phía .Xét hàm chỉ tiêu quality dạng toàn phương : 1 ⎛ x2 y2 ⎞ L( x, u ) = ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ (1) 2⎝a b ⎠Với điều kiện ràng buộc đường tính : f ( x, u ) = x + mu − c (2)Các con đường đồng mức của L(x,u) là hầu như ellip ; nếu như L(x,u) = F/2 , thì bántrục bao gồm và buôn bán trục phụ là al với bl . Điều kiện ràng buộc f(x,u) là một trong họcác mặt đường thẳng chứa thông số kỹ thuật c . Xem Hình 1.6 ( xem xét rằng u là biến đổi độclập , với x được khẳng định bởi f(x,u) = 0 ) .Hàm Hamilton là : 1 ⎛ x2 u2 ⎞ H = ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ + λ ( x + mu − c) (3) 2⎝a b ⎠ Trang 17PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà 18Và điều kiện để có điểm ngừng : H λ = x + mu − c = 0 (4) x Hx = +λ =0 (5) a2 u Hu = + λm = 0 (6) b2 Hình 1.5 : những đường đồng mức của L(x,u) và điều kiện ràng buộc f(x,u) . Hình 1.6 : các đường đồng mức của L(x,u) và điều kiện ràng buộc f(x,u). Http://www.khvt.comChương 1 : Điều khiển tối ưu -Để giải hệ phương trình này , trước nhất ta áp dụng phương trình (6) nhằm đưara biến điều khiển tối ưu theo thừa số Lagrange . U = −b 2 mλ (7)Bây giờ nạm phương trình (7) vào (4) để khử u , kết hợp với (5) với đượcviết lại : ⎡1 − b 2 m 2 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡c ⎤ ⎢1 ⎥ = (8) ⎢ 2 1 ⎥ ⎢⎣λ ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎣a ⎦Giải ra ta được giá trị của trạm dừng : a 2c x= (9) a2 + b2m2 c λ=− (10) a + b2m2 2Thay (9) , (10) vào (7) , ta đã có được giá trị u buổi tối ưu : b 2 mc u= (11) a2 + b2m2Để xác minh điểm giới hạn là rất tiểu , cần sử dụng (1.37) nhằm tìm ra ma trận uốn : 1 mét vuông Luuf = + (12) b2 a2 fLuu > 0 bởi vì vậy ta tìm được một điểm cực tiểu .Thay (9) với (11) vào (1) ta giá tốt trị tối ưu của hàm chỉ tiêu quality : 1 c2 L* = (13) 2 a2 + b2m2Để kiểm bệnh (1.21) , xem xét rằng: ∂L* ∂L* = = −λ (14) ∂f du = 0 ∂cGradf trong miền (u,x) là : ⎡ f u ⎤ ⎡m⎤ ⎢ f ⎥ = ⎢1⎥ (15) ⎣ x⎦ ⎣ ⎦ Trang 19PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà 20được trình diễn trong Hình 1.6 . GradL là : ⎡u ⎤ ⎡ u ⎤ ⎢b2 ⎥ L ⎢L ⎥ = ⎢ x ⎥ (16) ⎣ x⎦ ⎢ ⎥ ⎣a2 ⎦và tại trạm dừng (11) , (9) sẽ có giá trị : * ⎡ Lu ⎤ ⎡m⎤ c ⎢L ⎥ = ⎢ 1 ⎥ 2 (17) ⎣ ⎦ a +b m 2 2 ⎣ x⎦Điều này tương ứng với (15) , vì chưng vậy điểm dừng lộ diện khi f(x,u) = 0 làđường tiếp con đường với một mặt đường đồng nấc của L(x,u) .Ví dụ 1.5 : Hàm chỉ tiêu quality dạng toàn phương với đk ràngbuộc đường tính .Bây giờ ta tổng quát hóa ví dụ 1.4 cùng với vector x ∈ R n , u ∈ R m , f ∈ R n ,λ ∈ Rn .Xét hàm chỉ tiêu chất lượng dạng toàn phương: 1 T 1 L= x Qx + u T Ru (1) 2 2với điều kiện ràng buộc tuyến tính : f = x + Bu + c = 0 (2)với Q , R và B là các ma trận , c là vector n hàng . đưa sử Q ≥ 0 cùng R > 0( cùng với Q , R là ma trận đối xứng ) . Những đường đồng nút của L(x,u) là cácđường ellip trong không khí , và f(x,u)=0 là mặt phẳng cắt ngang quachúng . Điểm dừng lộ diện khi gradf với gradL tuy vậy song cùng nhau .Hàm Hamilton là : 1 T 1 H= x Qx + u T Ru + λT ( x + Bu + c) (3) 2 2và các điều kiện để sở hữu điểm giới hạn là : H λ = x + Bu + c = 0 (4) H x = Qx + λ = 0 (5) H u = Ru + B T λ = 0 (6) http://www.khvt.com